Рыбаков Д. А. (Тольятти) Пространство как потенциал возможностей в науке и буддизме
// Сборник «Буддизм Ваджраяны в России: история и современность».
СПб: Unlimited Space, 2009. 576 с. Тираж 800 экз.

Страницы 249-258
Стр. 249

ВВЕДЕНИЕ


В данной статье произведена попытка провести аналогию с буддизмом, раскрыв понятие пространства в математике. В буддизме понятие пространства имеет несколько значений и рассматривается с разных позиций. Среди них есть два аспекта понятия пространства, наиболее близкие научному мировоззрению: пространство как потенциал возможностей и пространство как нейтральный элемент, не имеющий характеристик. История и современное состояние математики подтверждают первую идею, а некоторые положения теории размерности — вторую. На самом простом уровне рассмотрения физическое пространство предоставляет возможности для расположения физических объектов, а математическое — для математических. Бесконечное разнообразие форм, которые могут быть проявлены в так понятом пространстве, указывает на его исключительные возможности.

Хотя в математике рассматривается множество разных видов пространств — геометрических, пространств функций, фазовых пространств
Стр. 250
и др., в данном контексте наиболее наглядными являются теории геометрических пространств, непосредственно связанных с интуитивным эмпирическим знанием, и особенно Евклидово пространство. Пустое пространство может быть рассмотрено как чистый потенциал, в то время как объекты могут определяться как проявление или актуализация этого потенциала. Одним из аспектов геометрических пространств является континуальность, то есть непрерывность, проявления которой мы и рассмотрим.

«ПОТЕНЦИАЛ ВОЗМОЖНОСТЕЙ» КОНТИНУУМА В МАТЕМАТИКЕ



Континуум (от лат. continuum — непрерывное) как в философии, так и в математике — термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих непрерывностью. За всю долгую историю математики как науки наиболее изученным непрерывным образованием стало множество действительных чисел — одномерный или числовой континуум. Этот континуум обычно рассматривается как частный случай математического пространства. Но даже этот простейший континуум обладает нераскрытым потенциалом возможностей, поскольку до сих пор остается не до конца изученным и таит в себе ряд недоказанных теорем.

Изучение потенциала этого континуума проходит через историю всей математики, начало которой связано с возникновением целочисленного натурального счета, опиравшегося на конкретные реалии, например такие как 10 пальцев человеческой руки. Долгое время считалось, что результат любого измерения можно выразить с помощью натурального числа или отношения двух таких чисел, то есть дроби. Бытовала иллюзия, что таким образом можно выразить любую длину, обозначить любую точку пространства. Сильный удар по этому, казалось бы, интуитивно ясному положению был нанесен еще в античности в среде последователей Пифагора. Было доказано, что в квадрате со стороной, равной единице, диагональ не может быть выражена дробным числом. Из этого парадокса возникла со временем теория иррациональных чисел, таких как √2, √3 и других. Само слово «иррациональный» означает «лежащий по ту сторону соразмерного».

В последующем среди иррациональных нашли еще более необычные, трансцендентальные, числа, такие как = 3,141592…, e = 2.718281…. Эти числа еще труднее сообразовать с привычными понятиями того
Стр. 251
времени, поэтому им и было дано такое выразительное название. Математики в течение нескольких столетий испытывали потрясение от открытия чисел, которые не могут быть выражены конечной комбинацией целых чисел. Этот шаг в математике был одним из первых серьезных погружений в природу континуума.

Континуум оказался столь трудным для аналитического понимания, что на его изучение ушли тысячелетия, однако на протяжении всей истории математики с античности до наших времен так и не удалось изучить все возможные его проявления. Он по-прежнему содержит в себе нераскрытый потенциал возможностей. Даже самый маленький фрагмент континуума содержит в себе количество подмножеств и отношений между ними, превышающее количество, предоставляемое любым ограниченным счетным множеством, сколь бы большим оно ни было.

В современной математике рассматриваются два класса величин — актуальные и потенциальные. Понятие актуальности присуще конкретным величинам, в то время как потенциальность означает бесконечное приближение. Уже в античности зародилось понятие потенциальной бесконечности, выраженное Аристотелем как возможность безграничного изменения (например, бесконечного прибавления единицы к любому числу, на чем основан натуральный числовой ряд: 1, 2, 3, 4…). Бесконечное, по Аристотелю, — потенциально. Понятие потенциальной бесконечности в математике оказалось очень продуктивным, на нем были построены теории пределов, бесконечных рядов, дифференциальных уравнений, интегралов и др. Оба понятия проявляются во многих задачах. Понятие потенциальности используется чаще при рассмотрении континуума, чем счетных множеств.

Пространство двухмерного континуума предоставляет еще большие возможности для исследования, чем одномерное. В нём объекты могут быть почти тождественны, но при этом они имеют совершенно разные характеристики. Наглядный пример тому можно обнаружить уже на уровне современной школьной геометрии. Построим прямоугольник A B C D. Для него выполняется равенство A + B = C + D. Разделим стороны С и D пополам и изменим расположение частей (шаги 1, 2, 3 на рисунке 1). Полученные части также разделим и переставим местами (шаг 4 на рисунке 1).

После пары преобразований получим A + B = c1 + c2 + c3 + c4 = d1 + d2+ d3 + d4 + d5 + d6 + d7 + d8
Стр. 252
Если повторять операцию много раз, то лесенка становится все ближе и ближе к диагонали (шаг 5 на рисунке 1) и в пределе сливается с диагональю (шаг 6 на рисунке 1). Длина ступенек становится все меньше, их количество растет, а сумма длин всех ступенек при этом остается прежней. В то же время общая длина лесенки A + B никак не становится равной длине диагонали √А2 + В2.
Разница этих величин дает повод глубже проникнуть в природу континуума, чем это позволяет повседневный опыт. Две совпадающие, но по-разному построенные линии могут иметь разную длину. Подобным образом, когда в буддизме приходится выбирать между исключающими характеристиками, иногда бывает можно выбрать обе характеристики одновременно.

В науке процесс познания континуума каждый раз происходил через преодоление стереотипов мышления. В то же время, согласно буддийской философии, пространство как безграничный потенциал возможностей нельзя познать, не отбросив любые жесткие концепции и стереотипы [Нидал, 2004, 30, 97]. Как философия буддизма, так и математика показывают возможности, которые могут уходить за пределы обыденного мышления и которые в то же время позволяют знать обыденное как частное проявление общего принципа.

История многих открытий в математике — это история «кризисов» математического мышления, что отчетливо видно в исторической ретроспективе [Стилвер, 2004; Юшкевич 1970]. Подобные кризисы свойственны науке в целом [Кун, 2003]. После кризиса, связанного с открытием иррациональных чисел, спустя несколько столетий, в
Стр. 253
XVII–XVIII веках, произошла еще одна катастрофа привычного сознания, при истолковании бесконечно малых величин — то есть переменных величин, стремящихся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу неопределенности в понимании бесконечно малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях не учитывалось, в других же — принималось как значение, отличное от нуля. Противоречия такого подхода возникали в силу того, что бесконечно малые величины рассматривали в качестве постоянных величин, из-за чего бесконечное понималось как данное всеми своими элементами нечто, завершенное, имеющееся налицо. Выход из кризиса был предложен в начале XIX века известным французским математиком О. Коши, сформулировавшим теорию пределов. Парадоксальное состояние бесконечно малых величин, которые можно одновременно полагать нулями и в то же время неравными нулю, О. Коши разрешает введением качественно новых, неведомых ранее величин, которые берет не из области действительного, а из области возможного. Согласно теории пределов, бесконечно малые — это величины, существующие лишь в постоянном становлении как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. Поэтому они всегда пребывают в возможности, в потенции, так что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Эти величины не фиксируются в каких-либо одних конкретных значениях, они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.

В это же время, в XIX веке, создает свои труды Николай Иванович Лобачевский, в которых впервые за тысячелетия в истории математики не принимается одна из аксиом Евклидовой геометрии. С Лобачевского в математике возникает новое направление — неевклидова геометрия. Когда подобные ему мыслители пытались в одиночку преодолеть вековые стереотипы, то это сказывалось на их личной судьбе. За пропаганду неевклидовой геометрии Лобачевский был подвергнут издевательской критике, впоследствии смещен с ведущей должности в Казанском университете и полностью отстранен от работы. Высокая значимость его трудов была оценена лишь гораздо позже.

Однако в истории математики были моменты, когда против жестких концепций контраргументы выдвигались в более массовом порядке. Тогда консервативно настроенные умы не могли уже бороться со своими
Стр. 254
оппонентами репрессивными методами. И приходилось признать, что текущих представлений недостаточно, чтобы адекватно описать вновь появившиеся объекты. Это вызвало необходимость пересмотра фундаментальных основ и определений.

Кризис в XIX и XX веках был вызван примерами множеств, которые приводили такие математики, как Кох, Кантор, Серпинский, Винер, Мандельброт и другие. Подобные попытки понимания природы множества в дальнейшем оформились в новое направление — фрактальную геометрию, в свете которой такие интуитивно ясные понятия, как линия и некоторые другие фундаментальные определения, нуждались в коренном пересмотре. Данные примеры еще отчетливее показывали, что свойства, несовместимые с точки зрения привычного опыта, могут присутствовать в объектах, которые беспрепятственно вмещает в себя континуум.

Например, греческие ученые полагали, что, если объект можно делить бесконечно, то он непрерывен [Мандельброт, 2002, 123]. Они не догадывались о множестве, которое обнаружил Кантор. Любая часть этого множества бесконечно делима, но в то же время само множество всюду разрывно и представляет собой дисконтинуум. Это множество строится поэтапно, как показано на рисунке. В пределе получается пыль (рисунок 2).
Здравый математический смысл вряд ли может представить кривую, состоящую только из точек ветвления. Например, дерево, растущее на улице, имеет продолговатые ветки с участками, где нет ветвления. Польский математик В. Серпинский доказал в 1915 году, что существуют кривые, состоящие целиком из точек ветвления [Мандельброт, 2002, 191]. В его множестве нет ни одной точки, которая не была бы точкой ветвления. Этапы построения стрелы Серпинского приведены на рисунке. На промежуточных этапах множество выглядит вполне обычно, но в пределе его свойства резко меняются, и оно преобретает свойства всюду разветвленного топологически одномерного объекта (рисунок 3).
Стр. 255
Многовековой опыт геометрии говорит, что одномерный объект не сможет полностью закрыть собой двухмерный, но пример кривой Пеано смог открыть такую возможность [Мандельброт, 2002, 89] (рисунок 4).
Долго считалось, что, если линия непрерывна, то к ней можно провести касательную. Это было связано с тем эмпирическим наблюдением, что брошенное тело летит по гладкой траектории [Hahn,1933]. Но математические примеры Вейерштрасса, Коха и многих других решительно опровергли эти представления. Один из вариантов функции Вейерштрасса имеет следующую форму F(t) = ∑ ― (1 − cos (bnt)). Функция непрерывна, но не дифференцируема, то есть является настолько извилистой, что нельзя провести к ней касательную ни в одной точке.

Эти примеры подточили интуитивно-эмпирическое представление о линии. Чудовища, выползавшие из глубин континуума, в свое время приводили в ужас математиков, которые пытались построить теории, опираясь на существующие жесткие концепции. Подобные необычные примеры были обобщены в теорию фракталов [Мандельброт, 2002, 17]. Сейчас фракталы поражают людей разных профессий, совмещая в себе бесконечность и ограниченность, закон и хаос, а также эстетическую красоту и строгую математику.

Фундаментальный кризис в области оснований математики до сих пор не преодолен. Немецкий математик Герман Вейль в середине XX века сказал о нем: «…мы менее чем когда-либо уверены в незыблемости наиболее глубоких оснований логики и математики. Как и у всех и у всего в мире сегодня, у нас есть свой кризис» [Вейль, 1989, 91]. Видимо, это связано с ограничениями самого процесса мышления с помощью ∞ n=∞ 1 an концепций,
Стр. 256
и эти ограничения ясно осознаются и рассматриваются в философии буддизма. Представление о потенциале пространства в буддизме имеет более широкое значение, чем в науке. Проявление самого феномена науки со всеми построениями рассматривалось бы как одно из частных его проявлений. Наука же рассматривает потенциал возможностей для объектов, налагая свои априорные ограничения. С этими ограничениями исследователи сталкиваются на уровне базовых определений и принципов.

Хотя научные дисциплины не оперируют таким термином, как потенциал вообще всех возможностей, но, тем не менее, в математике есть некий очень отдаленный аналог этого понятия — множество всех множеств. Но, как и в буддизме, это понятие невозможно охватить с помощью аппарата концептуального мышления. Математическая логика мгновенно встает в тупик при рассмотрении этого понятия, и этот факт известен как парадокс Б. Рассела. Полный потенциал остается за гранью любых представлений о нём.

ПРОСТРАНСТВО НЕ ИМЕЕТ ХАРАКТЕРИСТИК


В математике те рассуждения, которые опираются на элементарный счет, являются самыми наглядными и фундаментальными. Если попытаться приписать математические свойства пространству, которое мы непосредственно ощущаем, то его размерность, которая равна трём, наверное, претендовала бы на наибольшую достоверность. Но с размерностью не всё так просто.

Под размерностью зачастую понимают минимальное количество координат, необходимых для того, чтобы задать точку в пространстве. Размерность отрезка равна 1, плоскости 2, пространства 3. Если взять отрезок и начать его изгибать и растягивать, то его размерность не изменяется. Всегда можно будет обойтись одним параметром, чтобы однозначно задать точку на этой кривой. Наглядно это можно объяснить, если выбрать какую-нибудь начальную точку и запустить мысленно бусинку, которая будет двигаться с одинаковой скоростью до другой точки. Время, за которое бусинка дойдет до другой точки, можно считать тем единственным параметром, который однозначно задает любую точку на кривой. Для плоскости одного параметра будет мало, так как определенное таким образом время будет задавать не одну, а целый набор точек в виде окружности вокруг начальной точки.
Стр. 257
Но однажды математик Д. Пеано смог так изогнуть отрезок с помощью математических преобразований, что он закрыл собой целый квадрат без остатка. Похожего результата можно добиться, если зачернить весь лист, не отрывая карандаша от бумаги [Тарасенко, 1998]. Только в случае математических объектов задача усложняется: линия имеет нулевую ширину. Но даже и в этих условиях задача выполнима. Одним из выводов этой возможности является утверждение, что для того, чтобы задать точку на квадрате, требуется всего лишь одна координата. Заданная на квадрате точка с помощью преобразования Пеано может быть однозначным образом соотнесена с единственной точкой на отрезке.

Существует обобщение этой теории для всей плоскости и для любой размерности. В результате определение размерности через количество независимых координат приводит к тому, что размерность пространства равна 1.
Все дополнительные размерности можно сделать зависимыми от одной с помощью преобразования Пеано.

Изыскания в области размерности привели к множеству теорий. Ни одна из них не оказалась конечной. Поэтому размерность того или иного объекта в значительной мере зависит от концепции, с помощью которой эта размерность определяется. Например, Анри Пуанкаре рассматривал трехмерность пространства не более как следствие зрительного способа восприятия. Он говорил, что, если изменить привычки восприятия, то может измениться и размерность воспринимаемого пространства [Пуанкаре, 1990, 451].

Видимо, даже на математическом уровне понятие пространства не сводится однозначно к таким, казалось бы, основополагающим и самоочевидным понятиям, как натуральный счет или разделение реальности на объекты. Подобный подход перекликается с идеями буддийской философии о пространстве как нейтральном элементе или среде. Ввиду отсутствия характеристик, его невозможно описать однозначно с помощью концепций.

Математики на протяжении всей истории своей науки заглядывали по ту сторону ее оснований. Несмотря на то, что математикам удалось создать стройные теории, остаётся впечатление, что потенциал еще скрывает в себе многое, и кто знает, какие сюрпризы ждут математиков, осмелившихся выйти за рамки стереотипов при рассмотрении современных проблем и парадоксов.
Стр. 258
В качестве резюме приведем таблицу смысловых аналогий, проведенных в данной статье:

ЛИТЕРАТУРА


1. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.
2. Кун Т. Структура научных революций. М.: Прогресс, 1977.
3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
4. Нидал О. Каким все является: Современное введение в учение Будды. СПб.: Питер, 2004.
5. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990.
6. Стилвер Д. Математика и её история. М.: ИКС, 2004.
7. Тарасенко В. Метафизика фрактала. Интернет-ресурс, 1998.
8. Торчинов Е. Введение в буддизм. СПб.: Амфора, 2005.
9. Юшкевич А. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. М.: Наука, 1970.
10. Hahn H. The crisis in intuition // The world of mathematics, ed by J. R. Newman, New York: Simon & Schuster, 1956,vol. 3, pp. 1956–1976.
Адрес оргкомитета: 190068, Санкт-Петербург, Никольский переулок, 7-26